今回のテーマは『ペアノ曲線』

そして問題は……


ＡからＢまでの最長距離は？
というもの。

条件：同じ道は１度しか通ってはいけない。
　　　１つの長方形の長い辺が２メートル、短い辺が１メートルとする。


最初に私が考えたのがこれ↓


でも、これだと紫の部分が使えてないので駄目……。


正解は


ラーメンのドンブリの模様みたいです
と言う事で、答えは、４４メートル


今週は答えに行き着くまでは簡単でした☆
でも、コマ大数学科のテーマは「美しく解く」です。
なので、計算で解いてみると……。

まず、
全ての辺（道）の合計
　一周６メートルの長方形が全部で１６個なので
　６×１６＝９６

　しかし、これでは重複している部分がいっぱいあります。
　その重複している部分というのは、まわりの外周以外の辺なので……


まわりの外周
　４×２＋８×２＝２４

外周以外の辺
　９６−２４＝７２
　重複分を引くので　７２÷２＝３６

つまり
重複しない総距離は
　２４＋３６＝６０


次に通らない道がいくつあるかを考えます。
まず、
曲り角（奇点）の数
　１６個ある長方形に、それぞれ４つの角があるので
　１６×４＝６４
　外周の４つの角以外は重複しているので
　（６４−４）÷２＝３０

・曲り角では、１、通ってきた道
　　　　　　　２、これから通る道
　　　　　　　３、通らない道　　　となるので、
　曲り角１つにつき、通らない道は１つ
なので、通らない道は３０？

角は奇点ではないですが、ＡとＢでは通らない道がそれぞれ１つずつあるので、
　３０＋２＝３２


さらに、隣り合わせた２つの奇点では、
１つの通らない道を共有しているので、その分を引きます。
　３２÷２＝１６
　　これで通らない道の合計がでました。


最後に、
重複しない総距離−通らない道をすると……
　６０−１６＝４４
　　答えは、４４メートル



計算自体はとっても簡単ですが、
通らない道を出して、全体から引くとか、
曲がり角１つにつき、通らない道は１つとか、
そういう発想ができるかどうかですよね〜〜。
まぁ、私は出来なかったんですけど……

今回のテーマは『傾き』

問題は……
傾いた平面上でもっとも急な勾配が３分の１であるという。
南北方向の勾配を測ったところ５分の１であった。
東西方向の勾配はどれだけでしょうか？


まず勾配が３分の１とは、３つ進んで１つ上がるという事です。
これをグラフにしてみると


まずＸ軸が南北方向
それに垂直の東西方向のＹ軸、そして高さのＺ軸

Ｘ軸は５、Ｚ軸は１のところに点をうち
Ｙ軸は仮に図の赤い点とする。

すると、一番勾配が急なところは、
Ｚ軸１の点から、Ｘ軸の５の点から赤い点までの辺への再短距離
つまり垂直な線となる
その線の足をＨとすると、ＨからＯまでの距離が３という事になる。

問題は東西方向の勾配なので、Ｏから赤い点までの距離をもとめればいい。
そこでこの斜面を上からみた図、つまり三角形Ｏ・Ｘ軸の５・赤い点を取り出して考えてみる。



計算するまでもないですが、三角形ＯＨＸは直角三角形なので
三平方の定理から　５の二乗＝３の二乗＋ＸＨの二乗
　　　　　　　　　　　２５＝９＋ＸＨの二乗
　　　　　　　　ＸＨの二乗＝１６
　　　　　　　　　　　ＸＨ＝４

三角形ＯＸＨと三角形ＯＸＹは相似なので
　ＯＹ：５ ＝ ３：４
　ＯＹ×４ ＝ １５
　　　ＯＹ ＝ ４分の１５

ＯＹ分の１が答えなので、答えは１５分の４




「それどころじゃないよ……」
只今ナナはヒート中につき、ストレス溜まりまくりなのです

お久し振りです☆
半年ほどネットから逃亡していました……。
でも、私もナナも元気です！！

そして、勝手に心機一転
これからは私の興味のある事を、洋服に縛られずに色々書いていこうと思います。
興味のない方は「勝手な事言ってるよ」と思って、無視しちゃって下さい（笑）


そして今回は『コマネチ大学　数学科』というＴＶ番組の事を……。
知っていますか？この番組？
８chで深夜やっているいわゆる「お勉強」の番組です。
番組名の通り、取り扱う内容は『数学』
　　と、言われると取っ付きにくく感じますが、意外と楽しいです

05/25放送されたのはこういう問題↓


１＋２＋…というのは、面積です。
ちなみに、私は解けませんでした……。
この問題を解くのに必要な知識は『ピタゴラスの定理』と『中線定理』だそうです。
しかし、高校に入ってから全く数学を勉強しなかった私にとっては？？？


そこで『ピタゴラスの定理』とは！
直角三角形abcの時
ab2=bc2+ac2
（２は二乗という意味です……）

これを証明するためには……
ab2というのは１辺がabの正方形の面積と考える。
そこで直角三角形abcの周りに、正方形を書いてみる↓


ビックリ！ab2=bc2+ac2に見事になりました！！
そういえば、なんかこういうの習ったなぁ〜


このピタゴラスの定理の応用『中線定理』とは
AB2+AC2=2(AM2+BM2)


　（BCの中点がMです）

ピタゴラスの定理より
AB2=BH2+AH2
AC2=AH2+ch2　なので

AB2+AC2=2(AH2)+BH2+CH2

BH2+CH2
　　=(BM+MH)2+(CM-MH)2
BMとCMは同じモノなので
　　=2(BM2)+2(MH2)

よって、AB2+AC2=2(AH2)+2(BM2)+2(MH2)
　　　　 =2(BM2)+2(AH2+MH2)

ピタゴラスの定理より、AH2+MH2=AM2　なので
　　　　 =2(AM2+BM2)
に、なるわけです！！
ふぅ〜〜



そして、ようやく今回の問題の解法ですが（解法のうちの１つです）
９の図形を下の図の点でまわしてみると……


あら、不思議！？
三角形ABCとその中点Mが浮かび上がってくるのです！！
なのでさっきの公式
　AB2+AC2=2(AM2+BM2)　を利用して
　　　AB2は５の面積
　　　AC2は９の面積
　　　AM2は１の面積
　　　BM2は２の面積　と置き換えると
　５＋９＝２（１＋２）　になります。

同様に９をさっきとは反対側において回してみると……


　７＋９＝２（３＋４）　になります。

そして１０でもそれぞれ同じ事をやると……
　６＋１０＝２（２＋３）
　８＋１０＝２（４＋１）

これですべての図形が出そろいました。
これをまとめると……
　５＋９＋７＋９＋６＋１０＋８＋１０
　　＝２（１＋２＋３＋４＋２＋３＋４＋１）
つまり……

４（１＋２＋３＋４）
　　　＝（５＋６＋７＋８）＋２（９＋１０）



解けました！！
って、解き方をみて、それをネットで調べてやっと理解した人なんですけど……
でも、わかると数学って面白いですよね

これからも、なるべく毎週とりあげていきたいと思います！！


最後に……ナナの事に全然関係なくてすみません