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2007-06-12

コマ大 数学科 (06/08放送)

今回のテーマは『ペアノ曲線』

そして問題は……
1.gif

AからBまでの最長距離は?
というもの。

条件:同じ道は1度しか通ってはいけない。
   1つの長方形の長い辺が2メートル、短い辺が1メートルとする。


最初に私が考えたのがこれ↓
2.gif

でも、これだと紫の部分が使えてないので駄目……。


正解は
33.gif

ラーメンのドンブリの模様みたいです
と言う事で、答えは、44メートル


今週は答えに行き着くまでは簡単でした☆
でも、コマ大数学科のテーマは「美しく解く」です。
なので、計算で解いてみると……。

まず、
全ての辺(道)の合計
 一周6メートルの長方形が全部で16個なので
 6×16=96

 しかし、これでは重複している部分がいっぱいあります。
 その重複している部分というのは、まわりの外周以外の辺なので……


まわりの外周
 4×2+8×2=24

外周以外の辺
 96-24=72
 重複分を引くので 72÷2=36

つまり
重複しない総距離は
 24+36=60


次に通らない道がいくつあるかを考えます。
まず、
曲り角(奇点)の数
 16個ある長方形に、それぞれ4つの角があるので
 16×4=64
 外周の4つの角以外は重複しているので
 (64-4)÷2=30

・曲り角では、1、通ってきた道
       2、これから通る道
       3、通らない道   となるので、
 曲り角1つにつき、通らない道は1つ
なので、通らない道は30?

角は奇点ではないですが、AとBでは通らない道がそれぞれ1つずつあるので、
 30+2=32


さらに、隣り合わせた2つの奇点では、
1つの通らない道を共有しているので、その分を引きます。
 32÷2=16
  これで通らない道の合計がでました。


最後に、
重複しない総距離-通らない道をすると……
 60-16=44
  答えは、44メートル




計算自体はとっても簡単ですが、
通らない道を出して、全体から引くとか、
曲がり角1つにつき、通らない道は1つとか、
そういう発想ができるかどうかですよね~~。
まぁ、私は出来なかったんですけど……
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2007-06-01

コマ大 数学科 (6/1放送)

今回のテーマは『傾き』

問題は……
傾いた平面上でもっとも急な勾配が3分の1であるという。
南北方向の勾配を測ったところ5分の1であった。
東西方向の勾配はどれだけでしょうか?



まず勾配が3分の1とは、3つ進んで1つ上がるという事です。
これをグラフにしてみると
01.gif

まずX軸が南北方向
それに垂直の東西方向のY軸、そして高さのZ軸

X軸は5、Z軸は1のところに点をうち
Y軸は仮に図の赤い点とする。

すると、一番勾配が急なところは、
Z軸1の点から、X軸の5の点から赤い点までの辺への再短距離
つまり垂直な線となる
その線の足をHとすると、HからOまでの距離が3という事になる。

問題は東西方向の勾配なので、Oから赤い点までの距離をもとめればいい。
そこでこの斜面を上からみた図、つまり三角形O・X軸の5・赤い点を取り出して考えてみる。

02.gif

計算するまでもないですが、三角形OHXは直角三角形なので
三平方の定理から 5の二乗=3の二乗+XHの二乗
           25=9+XHの二乗
        XHの二乗=16
           XH=4

三角形OXHと三角形OXYは相似なので
 OY:5 = 3:4
 OY×4 = 15
   OY = 4分の15

OY分の1が答えなので、答えは15分の4


06-01.jpg

「それどころじゃないよ……」
只今ナナはヒート中につき、ストレス溜まりまくりなのです

2007-05-30

コマネチ大学 数学科(05/25放送)

05-30-1.jpg

お久し振りです☆
半年ほどネットから逃亡していました……。
でも、私もナナも元気です!!

そして、勝手に心機一転
これからは私の興味のある事を、洋服に縛られずに色々書いていこうと思います。
興味のない方は「勝手な事言ってるよ」と思って、無視しちゃって下さい(笑)


そして今回は『コマネチ大学 数学科』というTV番組の事を……。
知っていますか?この番組?
8chで深夜やっているいわゆる「お勉強」の番組です。
番組名の通り、取り扱う内容は『数学』
  と、言われると取っ付きにくく感じますが、意外と楽しいです

05/25放送されたのはこういう問題↓
05-30-2.jpg

1+2+…というのは、面積です。
ちなみに、私は解けませんでした……。
この問題を解くのに必要な知識は『ピタゴラスの定理』と『中線定理』だそうです。
しかし、高校に入ってから全く数学を勉強しなかった私にとっては???


そこで『ピタゴラスの定理』とは!
直角三角形abcの時
ab2=bc2+ac2
(2は二乗という意味です……)

これを証明するためには……
ab2というのは1辺がabの正方形の面積と考える。
そこで直角三角形abcの周りに、正方形を書いてみる↓
05-30-3.gif

ビックリ!ab2=bc2+ac2に見事になりました!!
そういえば、なんかこういうの習ったなぁ~


このピタゴラスの定理の応用『中線定理』とは
AB2+AC2=2(AM2+BM2)
T.jpg

 (BCの中点がMです)

ピタゴラスの定理より
AB2=BH2+AH2
AC2=AH2+ch2 なので

AB2+AC2=2(AH2)+BH2+CH2

BH2+CH2
  =(BM+MH)2+(CM-MH)2
BMとCMは同じモノなので
  =2(BM2)+2(MH2)

よって、AB2+AC2=2(AH2)+2(BM2)+2(MH2)
     =2(BM2)+2(AH2+MH2)

ピタゴラスの定理より、AH2+MH2=AM2 なので
     =2(AM2+BM2)
に、なるわけです!!
ふぅ~~



そして、ようやく今回の問題の解法ですが(解法のうちの1つです)
9の図形を下の図の点でまわしてみると……
A-01.gif

あら、不思議!?
三角形ABCとその中点Mが浮かび上がってくるのです!!
なのでさっきの公式
 AB2+AC2=2(AM2+BM2) を利用して
   AB2は5の面積
   AC2は9の面積
   AM2は1の面積
   BM2は2の面積 と置き換えると
 5+9=2(1+2) になります。

同様に9をさっきとは反対側において回してみると……
A-02.gif

 7+9=2(3+4) になります。

そして10でもそれぞれ同じ事をやると……
 6+10=2(2+3)
 8+10=2(4+1)

これですべての図形が出そろいました。
これをまとめると……
 5+9+7+9+6+10+8+10
  =2(1+2+3+4+2+3+4+1)
つまり……

4(1+2+3+4)
   =(5+6+7+8)+2(9+10)




解けました!!
って、解き方をみて、それをネットで調べてやっと理解した人なんですけど……
でも、わかると数学って面白いですよね

これからも、なるべく毎週とりあげていきたいと思います!!


最後に……ナナの事に全然関係なくてすみません

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