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2007-06-12

コマ大 数学科 (06/08放送)

今回のテーマは『ペアノ曲線』

そして問題は……
1.gif

AからBまでの最長距離は?
というもの。

条件:同じ道は1度しか通ってはいけない。
   1つの長方形の長い辺が2メートル、短い辺が1メートルとする。


最初に私が考えたのがこれ↓
2.gif

でも、これだと紫の部分が使えてないので駄目……。


正解は
33.gif

ラーメンのドンブリの模様みたいです
と言う事で、答えは、44メートル


今週は答えに行き着くまでは簡単でした☆
でも、コマ大数学科のテーマは「美しく解く」です。
なので、計算で解いてみると……。

まず、
全ての辺(道)の合計
 一周6メートルの長方形が全部で16個なので
 6×16=96

 しかし、これでは重複している部分がいっぱいあります。
 その重複している部分というのは、まわりの外周以外の辺なので……


まわりの外周
 4×2+8×2=24

外周以外の辺
 96-24=72
 重複分を引くので 72÷2=36

つまり
重複しない総距離は
 24+36=60


次に通らない道がいくつあるかを考えます。
まず、
曲り角(奇点)の数
 16個ある長方形に、それぞれ4つの角があるので
 16×4=64
 外周の4つの角以外は重複しているので
 (64-4)÷2=30

・曲り角では、1、通ってきた道
       2、これから通る道
       3、通らない道   となるので、
 曲り角1つにつき、通らない道は1つ
なので、通らない道は30?

角は奇点ではないですが、AとBでは通らない道がそれぞれ1つずつあるので、
 30+2=32


さらに、隣り合わせた2つの奇点では、
1つの通らない道を共有しているので、その分を引きます。
 32÷2=16
  これで通らない道の合計がでました。


最後に、
重複しない総距離-通らない道をすると……
 60-16=44
  答えは、44メートル




計算自体はとっても簡単ですが、
通らない道を出して、全体から引くとか、
曲がり角1つにつき、通らない道は1つとか、
そういう発想ができるかどうかですよね~~。
まぁ、私は出来なかったんですけど……
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